Une démonstration géométrique des formules de trigonométrie

Sur le fichier de géométrie dynamique ci-dessous, \(\text{OACE}\) est un rectangle.
Le point \(\text{B}\) appartient au segment \([\text{AC}]\) et le point \(\text{D}\) appartient au segment \([\text{CE}]\) et \(\text{OD}=1\).
Les quatre triangles représentés sur la figure sont rectangles.
\(a\) et \(b\) sont des mesures d'angles positives et telles que l'angle de mesure \(a+b\) est aigu.

À partir de cette figure, on souhaite démontrer que : 
\(\text{cos}(a+b)=\text{cos}(a)\text{cos}(b)-\text{sin}(a)\text{sin}(b)\) et \(\text{sin}(a+b)=\text{sin}(a)\text{cos}(b)+\text{sin}(b)\text{cos}(a)\).

Après avoir répondu aux questions ci-dessous, proposer à l'oral une démonstration de cette propriété.\(\)

1. Expliquer pourquoi le triangle \(\text{OBD}\) est rectangle en \(\text{B}\).
2. Retrouver les expressions des longueurs des différents segments de la figure. Vérifier en cochant les cases correspondantes dans le fichier de géométrie dynamique.
3. À partir de cette figure, comment retrouver les formules de \(\text{cos} (a + b)\) et de \(\text{sin} (a + b)\) ?
4. En déduire les formules de \(\text{cos} (2a)\) et de \(\text{sin} (2a)\).